ஒரு பேப்பர் துண்டை பாதி வரை முறுக்கி இரண்டு முனைகளையும் சேர்த்தால் வரும் வளையம் மோபியஸ் துண்டு(mobius strip) என்று அழைக்கப்படுகிறது. இந்த துண்டு கணிதவியலாளர்களையும் கலைஞர்களையும் அறிவியலாளர்களையும் ஒரு சேர ஆச்சரியப் படுத்தியிருக்கிறது. கனமான சிறிய வளையம் செய்வதை விட நீண்ட மெலிய வளையத்தை உண்டாக்குவது எளிது. இதில் ஒரு கணிதப் புதிரும் அடங்கியுள்ளதாம். சிறிய வளையத்தை உண் டாக்கும்போது, காகிதம் சம பக்க முக்கோண அள விற்கு தட்டையாகிவிடுகிறதாம். சமபக்க முக்கோண சுருள்தான் நம்மால் உண்டாக்க முடிகிற மிகச்சிறிய மோபியஸ் துண்டு என்று 1977இல் அறிவியலாளர்கள் முன்மொழிந்தார்கள். ஆனால் கடந்த ஐம்பது ஆண்டுகளாக அதை நிரூபிக்க இயலவில்லை. கணிதவியலாளர்களால் காட்ட முடிந்ததெல்லாம் அதன் நீள அகல விகிதங்கள் 1/2 அல்லது கிட்டதட்ட 1.57 என்பதைவிட அதிகம் இருக்க வேண்டும் என்பதே. பிரவுன் பல்கலைக்கழகத்தை சேர்ந்த கணிதவியலாளர் ரிச்சர்ட் ஷ்வார்ட்ஸை இந்தப் புதிர் ஈர்த்தது. கணித வியலாளர்களை குழப்பும் எளிய சிக்கல்கள் மீது அவருக்கு ஆர்வம் உண்டு. அவர் மோபியஸ் துண்டை ஆய்வு செய்ததில், பேப்பர் சுருளும் போது ஆங்கில எழுத்தான டி(T) வடிவில் மாறு கிறது என்று புரிந்து கொண்டார். அதன் அடிப்படை யில் நீள அகலத்தின் குறைந்த பட்ச விகிதம் ஒன்றை கண்டறிந்தார். அவர் எதிர்பார்த்தபடி அது 3இன் வர்க்க மூலமாக இல்லை. அதற்கு நெருக்கமாக 1.69 ஆக இருந்தது. அதற்குப் பிறகு அவர் வேறு பல விசயங்களுக்கு போய்விட்டார். ஆனால் அந்த கணித தீர்வு குறித்து சிந்தித்துக் கொண்டே இருந்தார். ஒரு நாள் பேப்பரை வைத்து விளையாடிக் கொண்டிருக்கும் போது அவர் செய்த தவறு மின்னலாக தோன்றியது. மோபியஸ் சுருளை குறுக்குவாட்டில் பிரித்து தட்டையாக்கினால் அது ஒரு இணைகரமாகும் என்று அவர் அனுமானித்திருந்தார்.
ஆனால் உண்மையில் பிரித்துப் பார்க்கும்போது அது சாய்கரமாக(trapezoid) இருந்தது. அவர் மோபியஸ் சுருள் குறித்து பிரதான மாக கணினி வாயிலாகவே ஆய்வு செய்து கொண்டி ருந்தார். அதனால் இணைகரம் என்று நிரலை அமைத்திருந்தார். அதை சாய்கரமாக மாற்றிய பின் சுருளின் நீளம் அதன் அகலத்தைவிட √3 மடங்கு அதிகமாக இருக்க வேண்டும் என்பது நிரூ பிக்கப்பட்டது. காகிதத்தில் முகமூடிகள் செய்வதை பொழுது போக்காக கொண்டிருந்த அவர், ஆய்வில் நேரடி யாக காகிதத்தை பயன்படுத்தாமல் கணினி மூலம் மட்டுமே ஆய்வு செய்தார் என்பது விநோதம் தான். 1858இல் ஜெர்மனி நாட்டு கணிதவிய லாளர்கள் அகஸ்ட் மோபியஸ் மற்றும் ஜோஹன் லிஸ்ட்டிங் இந்த சுருள் குறித்து முதன்முதலாக விவ ரித்தனர். இதன் விநோதமான தன்மைகளினால் இது பலரையும் கவர்ந்தது. எடுத்துக்காட்டாக ஒரு எறும்பு இந்த சுருளின் மீது பயணிக்கும்போது அது உள்பக்கமோ வெளிபக்கமோ அல்லது மேல் பக்கமோ கீழ்பக்கமோ இருப்பதில்லை. அதா வது ஒரு தளத்தின் இரண்டு பக்கங்களையும் அந்த துண்டை புரட்டாமலேயே பயன்படுத்த இயலு கிறது. இது டேப் ரிக்கார்டர், டைப்ரைட்டர், கன்வே யர் பெல்ட், காட்ரிட்ஜ் மற்றும் ரோலர் கோஸ்ட்டர் ஆகியவற்றில் பயன்படுகிறது. அவை முடிவிலா சுருள்கள் என்பதால் அணிகலன்கள், மறுசுழற்சிக் கான குறியீடு மற்றும் கூகுளின் அடையாளமாக வும் பயன்படுத்தப்படுகிறது.